Augmentation de loyer

En \(2021\) , lors de la première année de location d'un appartement, le loyer annuel s'élève à \(12\ 000\) euros. Le propriétaire décide d'appliquer une augmentation annuelle au loyer. Pour cela il étudie deux modèles d’augmentation.

1. Dans le premier cas, le loyer annuel augmente chaque 1^er janvier de \(420\)  euros. On modélise le prix en euros du loyer annuel en fonction du nombre d'années écoulées depuis \(2021\) par une suite  \(\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}\)   avec \(u_0=12 \ 000\) .
    a. Calculer \(u_1\)  et \(u_2\) et préciser la nature de la suite  \((u_n)\) .
    b. Donner le terme général de la suite \((u_n)\) .
    c. Quel sera le montant annuel du loyer en \(2034\)  ?
    d. En quelle année le loyer dépassera-t-il une fois et demie le montant de la première année ?
    e. Quelle sera la somme perçue par le propriétaire au terme des vingt premières années ?

2. Dans le second cas, le loyer annuel augmente chaque 1^er janvier de \(3\)  %. On modélise le prix en euros du loyer annuel en fonction du nombre d'années écoulées depuis \(2021\) par la suite  \(\left(v_n\right)_{n \in \mathbb{N}}\)   avec \(v_0=12 \ 000\) .
    a. Calculer \(v_1\)  et \(v_2\) et préciser la nature de la suite  \(( v_n)\) .
    b. Donner le terme général de la suite \((v_n)\) .
    c. Quel sera le montant annuel du loyer en \(2034\)  ?
    d. En quelle année le loyer dépassera-t-il une fois et demie le montant de la première année ?
    e. Quelle sera la somme perçue par le propriétaire au terme des vingt premières années ?Arrondir le résultat à l'euro près.  

3. La règlementation prévoit de signer un bail de location de 6 ans renouvelable. Si le locataire décidait de ne pas renouveler le contrat au bout de 6 ans, quelle modalité d'augmentation conviendrait-elle au propriétaire ?